Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer

I denne artikkelen vil vi se på hvordan du løser vertikale sirkulære bevegelsesproblemer. Prinsippene som brukes til å løse disse problemene er de samme som de som brukes til å løse problemer som involverer centripetal akselerasjon og sentripetalkraft. I motsetning til horisontale sirkler varierer kreftene som virker på vertikale sirkler som de går rundt. Vi vurderer to tilfeller for objekter som beveger seg i vertikale sirkler: når objekter beveger seg i konstant fart og når de beveger seg i varierende hastigheter.

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer for objekter som kjører til konstant fart

Hvis en gjenstand beveger seg med en konstant hastighet i en vertikal sirkel, så er den sentripetale kraften på objektet, forblir det samme. For eksempel, la oss tenke på et objekt med masse som svinges om i en vertikal sirkel ved å feste den til en streng lengde . Her da, er også radius for sirkelbevegelsen. Det blir spenning alltid agerer langs strengen, pekte mot sirkelens senter. Men verdien av denne spenningen vil hele tiden variere, som vi vil se nedenfor.

Vertikal sirkulær bevegelse av et objekt ved konstant hastighet v

La oss vurdere objektet når det er øverst og bunnen av sin sirkulære bane. Både objektets vekt, , og sentripetalkraften (spiss midt i sirkelen) forblir den samme.

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - Konstant hastighetsobjektspenning øverst og nederst

Spenningen er størst når objektet er nederst. Det er her strengen er mest sannsynlig å bryte.

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer for objekter som reiser i varierende hastighet

For disse tilfellene vurderer vi endringen i energi til objektet mens det beveger seg rundt sirkelen. På toppen har objektet mest mulig energi. Når objektet kommer ned, mister det potensiell energi, som omdannes til kinetisk energi. Dette betyr at objektet øker når det kommer ned.

Anta at et objekt festet til en streng beveger seg i en vertikal sirkel med varierende hastighet slik at øverst har objektet bare nok fart å opprettholde sin sirkulære bane. Nedenfor vil vi få uttrykk for dette objektets minimumshastighet øverst, maksimalhastigheten (når den er nederst) og spenningen på strengen når den er nederst.

På toppen er den sentripetale kraften nedover og  . Objektet vil ha bare nok fart for å opprettholde sin sirkulære bane hvis strengen bare skal gå slakk når den er øverst. For dette tilfellet, spenningen av strengen er nesten 0. Setter dette inn i sentripetalkraftligningen, vil vi ha . Deretter, .

Når objektet er nederst, er dets kinetiske energi større. Gevinsten i kinetisk energi er lik tapet i potensiell energi. Objektet faller gjennom en høyde på  når den når bunnen, så er gevinsten i kinetisk energi . Deretter,

.

Siden vår , vi har

 Deretter ser vi på spenningen på strengen nederst. Her styres sentripetalkraften oppover. Vi har da

. erstatte , vi får .

Forenkle videre, slutter vi med:

.

Vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - Eksempel

Swinging Buckets of Water Overhead

En bøtte med vann kan svinges overhead uten at vannet faller ned hvis det beveges med en nok nok hastighet. Vekten  av vannet prøver å trekke vannet ned; imidlertid den sentripetale kraften  prøver å holde objektet i den sirkulære banen. Sentripetalkraften i seg selv er sammensatt av vekten pluss den normale reaksjonskraften som virker på vannet. Vann vil være på sirkelbanen så lenge som .

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - Swinging a Bucket of Water

Hvis hastigheten er lav, slik at , da er ikke hele vekten "brukt opp" for å skape centripetalkraften. Nedadgående akselerasjon er større enn centripetal akselerasjon, og så vil vannet falle ned.

Det samme prinsippet brukes til å opprettholde objekter som faller når de går gjennom "loop loop" -bevisene som vist i for eksempel rullebanekjøring og i airshows hvor stuntpiloter flyr sine fly i vertikale sirkler, med flyene som reiser "opp ned "når de når toppen.

 Eksempel 1

London Eye er et av de største pariserhjulene på jorden. Den har en diameter på 120 m, og roterer med en hastighet på ca. 1 full rotasjon per 30 minutter. Gitt at det beveger seg med konstant fart, finn

a) centripetalkraften på en passasjer med masse 65 kg

b) reaksjonskraften fra setet når passasjeren er på toppen av sirkelen

c) reaksjonskraften fra setet når passasjeren er i bunnen av sirkelen

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - eksempel 1

Merk: I dette spesielle eksempelet endres reaksjonsstyrken med svært liten, fordi vinkelhastigheten er ganske treg. Vær imidlertid oppmerksom på at uttrykkene som brukes til å beregne reaksjonskreftene øverst og nederst, er forskjellige. Dette betyr at reaksjonskreftene vil være vesentlig forskjellige når større vinkelhastigheter er involvert. Den største reaksjonsstyrken ville bli følt i bunnen av sirkelen.

Vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - Eksempel - London Eye

Eksempel 2

En pose mel med en masse på 0,80 kg svinges om i en vertikal sirkel med en streng 0,70 m lang. Hastigheten på posen varierer ettersom den beveger seg rundt sirkelen.

a) Vis at en minimumshastighet på 3,2 m s^-1 er tilstrekkelig til å holde posen i sirkulær bane.

b) Beregn spenningen i strengen når posen er øverst i sirkelen.

c) Finn hastigheten på posen på et øyeblikk når strengen har beveget seg nedover med en vinkel på 65^o fra toppen.

Hvordan løse vertikale sirkulære bevegelsesproblemer - eksempel 2