Slik løser du problemer med prosjektilbevegelser

prosjektiler er bevegelser som involverer to dimensjoner. For å løse prosjektilbevegelsesproblemer, ta to retninger vinkelrett på hverandre (vanligvis bruker vi "horisontale" og "vertikale" retninger) og skriver alle vektormengder (forskyvninger, hastigheter, akselerasjoner) som komponenter langs hver av disse retningene. I prosjektiler, Den vertikale bevegelsen er uavhengig av den horisontale bevegelsen. Så, bevegelsesbevegelser kan brukes til horisontale og vertikale bevegelser separat.

Å løse prosjektilbevegelsesproblemer for situasjoner der objekter kastes på jorden, akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, , Fungerer alltid vertikalt nedover. Hvis vi forsømmer effekten av luftmotstand, da Den horisontale akselerasjonen er 0. I dette tilfellet, Den horisontale komponenten av prosjektilens hastighet forblir uendret.

Når et prosjektil kastet i en vinkel, når den maksimale høyden, er dens vertikal komponent av hastighet er 0 og når prosjektilet når samme nivå som det ble kastet, er det vertikal forskyvning er 0. 

På diagrammet ovenfor har jeg vist noen typiske mengder du burde vite for å løse prosjektilbevegelsesproblemer.  er starthastigheten og , er den endelige hastigheten. Abonnementene og referer til de horisontale og vertikale komponentene av disse hastighetene, separat.

Ved å gjøre følgende beregninger, tar vi oppover retning å være positiv i vertikal retning, og horisontalt tar vi vektorer til høyre å være positiv.

La oss se på den vertikale forskyvningen av partikkelen med tiden. Den innledende vertikale hastigheten er . På et gitt tidspunkt, den vertikale forskyvningen , er gitt av . Hvis vi skal tegne en graf av vs. , Vi finner at grafen er en parabola fordi har en avhengighet av . det vil si at stien tatt av objektet er en parabolisk.

Strengt tatt, på grunn av luftmotstand, er banen ikke parabolisk. I stedet blir formen mer "squashed", med partikkelen får et mindre utvalg.

Innledningsvis er objektets vertikale hastighet avtar siden jorden forsøker å trekke den nedover. Til slutt når den vertikale hastigheten 0. Objektet har nå nådd maksimal høyde. Da begynner objektet å bevege seg nedover, og nedoverhastigheten øker når objektet akselereres nedover av tyngdekraften.

For et objekt kastet fra bakken i fart , la oss prøve å finne tiden som er tatt for objektet å nå toppen. For å gjøre dette, la oss vurdere bevegelsen av ballen fra når den ble kastet til når den når maksimal høyde.

Den vertikale komponenten av starthastigheten er . Når objektet når toppen, er objektets vertikale hastighet 0. dvs.. . I følge ligningen , tiden som er tatt for å nå toppen = .

Hvis det ikke er luftmotstand, så har vi en symmetrisk situasjon hvor tiden som tar for objektet å nå bakken fra sin maksimale høyde, er lik tiden som objektet tar for å nå maksimal høyde fra bakken i utgangspunktet . De total tid som objektet bruker i luften er da, .

Hvis vi vurderer objektets horisontale bevegelse, kan vi finne objektets område. Dette er den totale distansen som reises av objektet før den lander på bakken. horisontalt, blir (fordi horisontal akselerasjon er 0). Bytte for , vi har: .

Eksempel 1

En person som står øverst på en bygning 30 meter høy, kaster en stein horisontalt fra kanten av bygningen med en hastighet på 15 m s^-1. Finne

a) tiden som objektet tar for å komme til bakken,

b) hvor langt unna bygningen lander den, og

c) objektets hastighet når den når bakken.

Objektets horisontale hastighet endres ikke, så dette er ikke nyttig for seg selv å beregne tiden. Vi kjenner den vertikale forskyvningen av objektet fra toppen av bygningen til bakken. Hvis vi kan finne tiden som objektet tar for å komme til bakken, kan vi da finne ut hvor mye objektet skal bevege seg horisontalt i løpet av den tiden.

Så, la oss starte med den vertikale bevegelsen fra når den ble kastet til når den når bakken. Objektet kastes horisontalt, så den første vertikal Hastigheten til objektet er 0. Objektet vil oppleve en konstant vertikal akselerasjon nedover, så m s^-2. Den vertikale forskyvningen for objektet er m. Nå bruker vi , med . Så, .

For å løse del b) bruker vi horisontal bevegelse. Her har vi 15 m s^-1, 6.12 s, og 0. Fordi horisontell akselerasjon er 0, er ligningen blir eller, . Dette er hvor mye lenger fra bygningen objektet skulle lande.

For å løse del c) må vi vite de endelige vertikale og horisontale hastighetene. Vi vet allerede den endelige horisontale hastigheten, m s^-1. Vi må igjen vurdere loddrett bevegelse for å kjenne objektets endelige vertikale hastighet, . Vi vet det , -30 m og m s^-2. Nå bruker vi , gir oss . Deretter, . Nå har vi de horisontale og vertikale komponentene til slutthastigheten. Den endelige hastigheten er da, m s^-1.

Eksempel 2

En fotball er sparket av bakken med en hastighet f 25 m s^-1, med en vinkel på 20^o til bakken. Forutsatt at det ikke er luftmotstand, kan du finne hvor mye lenger unna ballen kommer til å lande.

Denne gangen har vi også en vertikal komponent for innledende hastighet. Dette er,  m s^-1. Den innledende horisontale hastigheten er  m s^-1.

Når ballen lander, kommer den tilbake til samme vertikale nivå. Så vi kan bruke , med . Dette gir oss . Å løse den kvadratiske ligningen får vi en tid på  0 s eller 1,74 s. Siden vi ser etter tiden når ballen lander, vi tar  1,74 s.

Horisontalt er det ingen akselerasjon. Så vi kan erstatte tidspunktet for ballens landing i den horisontale ligningsbevegelsen:  m. Dette er hvor langt bollen vil lande.