Hvordan finne massesenteret

Massesenter - Definisjon

Punktet hvor hele massen av en kropp eller et system kan anses å være konsentrert kalles massesenteret. Med andre ord er det punktet hvor kroppens eller systemets totale masse har samme effekt når de er konsentrert til en punktmasse.

Beregning av massesenteret

En stiv kropp har en kontinuerlig massedistribusjon. Et massesystem kan ha enten kontinuerlig eller diskret massedistribusjon. For å forstå konseptet bedre, la oss vurdere et system med to punktmasser m₁ og M₂ posisjonert ved (x₁,y₁) og (x₂,y₂).

Systemets massesenter vil bli gitt av koordinatene (x_CM,y_CM) oppnådd ved den følgende formel. 

Hvis z-koordinatene også er gitt, kan z-koordinatene til massesenteret oppnås med samme metode. Midtsenteret deler internt avstanden mellom de to punktene og avstanden fra CM til hver masse (r) i motsetning til massen (m). dvs. ral / m. Derfor følger følgende forhold for alle topunkts massesystemer. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Resultatet for to punktmasser kan utvides til mange partikkelsystemer som følger. Hvis koordinatene til partikkelen m_Jeg er gitt av (x_Jeg,y_Jeg ) er koordinatene til massesenteret til det mange partikkelsystemet gitt av, 

 

En kontinuerlig massedistribusjon kan tilnærmet som en samling av uendelige masser. Derfor tar de begrensende tilfeller av de ovennevnte resultatene koordinatene til massesenteret.

Hvis objektet har jevn massefordeling (uniform tetthet) og vanlig geometrisk gjenstand ligger massesenteret på objektets geometriske midtpunkt. Det skal også bemerkes at massesenteret (CM) og tyngdepunktet (CG) brukes synonymt i de fleste situasjoner. Imidlertid er de forskjellige, og de sammenfaller bare når gravitasjonsfeltet som virker på kroppen eller systemet, er jevnt. Ellers er sentrum av masse og tyngdepunkt separert.

Dette gjelder for alle gjenstandene i jordens gravitasjonsfelt. Imidlertid er forskjellen på plassene til massesenteret og tyngdepunktet for lite for små gjenstander, men for store gjenstander, spesielt høye gjenstander som en rakett på lanseringsplaten, er det en betydelig separasjon mellom massesenteret og tyngdepunktet.

Slik finner du massesenteret - Eksempel

Senter av masseeksempel 01. Massene m, 3m, 4m og 6m er plassert ved henholdsvis koordinater (2, -6), (4,0), (- 1,3) og (-4, -4). Finn sentrum av massen av systemet. 

Senter for masseeksempel 02. Månens baner 385000 km unna sentrum av jorden. Hvis månens masse er 7.3477 × 10²² kg eller 0,012300 av jordens masse, finn avstanden til sentrum av masse jord og månesystem, fra jordens sentrum.

Fra forholdet r₁/ r₂ = m₂/ m₁ vi kan utlede det r_Jord/ r_måne = m_måne/ m_Jord . Siden månens bane er 385000 km og vurderer de tilgjengelige forholdene, er avstanden til massesenteret fra jordens sentrum

r_Jord/ (R_måne+r_Jord ) × 385000 km = m_måne/ (M_Jord+m_måne ) × 385000 km.

Bytte verdier og forenkling gir 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (Her må månens masse bli tatt som en brøkdel av jordens masse, dvs. m_måne/ m_Jord = 0,0123)

Separasjon er signifikant (1,25% av månens bane) fordi månen har en betydelig masse, men for mindre gjenstander som en bil, er forholdet m_bil/ m_Jord er null for alle praktiske beregninger.