Hvordan finne området med vanlige polygoner

Polygon Definisjon

I geometri er en polygon en form som består av rette linjer knyttet til å lage en lukket sløyfe. Den har også vertikaler lik antall sider. Begge de følgende geometriske gjenstandene er polygoner.

Regelmessig polygondefinisjon

Hvis sidene av polygonen er like store, og vinklene er også like, så er polygonen kjent som en vanlig polygon. Følgende er vanlige polygoner.

 

Navnet på polygonene slutter med suffiks "gon" og antall sider bestemmer den forreste delen av navnet. Tallet på gresk er brukt som et prefiks, og hele ordet forteller at det er et polygon med så mange sider. Følgende er få eksempler, men listen fortsetter.

n	polygon
2	Digon
3	trekant (trigon)
4	firkantet (tetragon)
5	pentagon
6	sekskant
7	heptagon
8	Octagon
9	enneagon
10	decagon
11	hendekagon
12	dodecagon

Slik finner du polygonene: Metode

Området med en generell uregelmessig polygon kan ikke kjøpes direkte fra formelen. Vi kan imidlertid skille polygonen i mindre polygoner, som vi enkelt kan beregne området. Da gir summen av disse komponentene området av hele polygonen. Vurder en uregelmessig heptagon som vist nedenfor.

Heptagonens område kan gis som summen av de enkelte trekanter i heptagonen. Ved å beregne arealet av trekanter (a1 til a4).

Totalt areal = a1 + a2 + a3 + a4

Når sidene er høyere, må flere triangler legges til, men grunnprinsippet forblir det samme.

Ved hjelp av dette konseptet kan vi få et resultat for å beregne området for de vanlige polygonene.

Tenk på den vanlige sekskanten med lengde d sider som vist nedenfor. Heksagonen kan skilles i seks mindre kongruente trekanter, og disse trekanter kan omarrangeres fra et parallellogram som vist.

Fra diagrammet er det klart at summene av arealet av de mindre trekanter er lik området for parallellogrammet (rhomboid). Derfor kan vi bestemme området for sekskanten ved hjelp av området av parallellogrammet (rhomboid).

Areal av parallellogrammet = Summen av trekantens område = Heptagonens område

Hvis vi skriver et uttrykk for området til rhomboid, har vi

Område_Rhom = 3dh

Ved å omorganisere vilkårene

Fra sekskantens geometri kan vi observere at 6d er sekskantens omkrets og h er den vinkelrette avstanden fra midten av sekskanten til omkretsen. Derfor kan vi si,

Areal av sekskant = 12 omkrets av sekskant × vinkelrett avstand til omkretsen.

Fra geometrien kan vi vise at resultatet kan utvides til polygoner med et hvilket som helst antall sider. Derfor kan vi generalisere ovennevnte uttrykk i,

Areal av polygonen = 12 omkrets av polygon × vinkelrett avstand til omkretsen

Den vinkelrette avstanden til omkretsen fra midten er gitt navnet apothem (h). Så, hvis en polygon med n-sider har en omkrets p og en apotem h, kan vi få formelen:

Slik finner du området med vanlige polygoner: Eksempel

1. En ottekant har sider 4 cm i lengde. Finn området til Octagon. For å finne området for ottekant er det nødvendig med to ting. De er omkretsen og apothem.

• Finn omkretsen 

Lengden på en side er 4 cm, og en ottekant har 8 sider. Derfor s
Perimeter av oktagon = 4 × 8 = 32cm

• Finn Apothem.

Den indre vinkelen til ottekant er 1350 og siden av trekanten trekkes bisects vinkelen. Derfor kan vi beregne apotemet (h) ved hjelp av trigonometriet.

h = 2tan67.5⁰= 4.828cm

• Derfor er området av oktagonen