Slik beregner du binomial sannsynlighet

Binomialfordeling er en av de elementære sannsynlighetsfordelingene for diskrete tilfeldige variabler som brukes i sannsynlighetsteori og statistikk. Den er gitt navnet fordi den har binomialkoeffisienten som er involvert i alle sannsynlighetsberegninger. Den veier i antall mulige kombinasjoner for hver konfigurasjon.

Vurder et statistisk eksperiment med hver hendelse som har to muligheter (suksess eller fiasko) og p Sannsynlighet for suksess. Også hver hendelse er uavhengig av hverandre. En enkelt begivenhet av denne typen er kjent som en Bernoulli-prøveversjon. Binomialfordeling brukes til suksessiv rekkefølge av Bernoulli-forsøk. Nå, la oss ta en titt på metoden for å finne binomial sannsynlighet.

Hvordan finne binomial sannsynlighet

 Hvis X er antall suksesser fra n (endelig antall) uavhengige Bernoulli-forsøk, med sannsynlighet for suksess p, så sannsynligheten for X suksesser i forsøket er gitt av,

ⁿC_x kalles binomialkoeffisienten.

X sies å være binomial distribuert med parametere p og n, ofte betegnet av notatet Bin (n, p).

Mean og variansen av binomialfordelingen er gitt i forhold til parametrene n og p. 

Formen på binomialfordelingskurven avhenger også av parametrene n og p. Når n er liten, fordelingen er omtrent symmetrisk for verdier p≈ 5 rekkevidde og høyt skjev når p er i 0 eller 1 rekkevidde. Når n er stor, fordelingen blir mer glatt og symmetrisk med merkbar skjev når p er i det ekstreme 0 eller 1-området. I det følgende diagram representerer x-aksen antall forsøk og y-aksen gir sannsynligheten. 

  Slik beregner du binomial sannsynlighet - eksempler

1. Hvis en forspilt mynte kastes 5 ganger etter hvert, og sjansen for suksess er 0,3, finn sannsynlighetene i følgende tilfeller.

en) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Gjennomsnittlig fordeling

e) Varians av fordelingen

Fra eksperimentets detaljer kan vi utlede at fordelingen av sannsynligheter er binomial i naturen med 5 påfølgende og uavhengige forsøk med suksesssannsynlighet 0.3.Therefore n = 5 and p = 0.3. 

en) P (X = 5) = Sannsynlighet for å få suksesser (hoder) for alle fem forsøkene

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = sannsynlighet for å få fire eller færre antall suksesser under forsøket 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0,00243 = 0,99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

For å beregne binomial sannsynlighet for å få bare fire suksess (P (X) = 4) har vi,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

d)  Gjennomsnitt = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Varians = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05