Forskjellen mellom lineær ligning og kvadratisk ligning

Lineær ligning vs kvadratisk likning

I matematikk er algebraiske ligninger ligninger som dannes ved hjelp av polynomene. Når eksplisitt skrevet, vil ligningene ha form P (x) = 0, hvor x er en vektor med n ukjente variabler og P er et polynom. For eksempel, P (x, y) = x⁴ + y³ + x²y + 5 = 0 er en algebraisk ligning av to variabler skrevet eksplisitt. Også, (x + y)³= 3x²y - 3zy⁴ er en algebraisk likning, men i implisitt form. Det vil ta formen Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy²+3zy⁴= 0, en gang skrevet eksplisitt.

En viktig egenskap ved en algebraisk ligning er graden. Det er definert som den høyeste kraften i betingelsene som forekommer i ligningen. Hvis en term består av to eller flere variabler, vil summen av eksponentene til hver variabel bli tatt til å være uttrykkets kraft. Vær oppmerksom på at i henhold til denne definisjonen er P (x, y) = 0 av grad 4 mens Q (x, y, z) = 0 er av grad 5.

Lineære ligninger og kvadratiske ligninger er to forskjellige typer algebraiske ligninger. Graden av ligningen er den faktor som skiller dem fra resten av algebraiske ligninger.

Hva er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning i grad 1. For eksempel er 4x + 5 = 0 en lineær ligning av en variabel. x + y + 5z = 0 og 4x = 3w + 5y + 7z er lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning av n-variabler ta formen m₁x₁ +m₂x₂ +... + m_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Her, x_JegDet er de ukjente variablene, m_Jeg's og b er reelle tall hvor hver av m_Jeg er ikke-null.

En slik ligning representerer et hyperplan i det n-dimensjonale euklidiske rommet. Spesielt representerer en to variabel lineær ligning en rett linje i kartesisk plan, og en tre variabel lineær ligning representerer et plan på euklidisk 3-plass.

Hva er en kvadratisk ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning i andre grad. x² + 3x + 2 = 0 er en enkelt variabel kvadratisk ligning. x² + y² + 3x = 4 og 4x² + y² + 2z² + x + y + z = 4 er eksempler på kvadratiske ligninger av henholdsvis 2 og 3 variabler.

I det enkelte variable tilfellet er den generelle formen for en kvadratisk ligning øks² + bx + c = 0. Hvor a, b, c er reelle tall hvorav 'a' er ikke-null. Diskriminanten Δ = (b² - 4ac) bestemmer arten av røttene til den kvadratiske ligningen. Røttene til ligningen vil være ekte forskjellig, ekte lik og kompleks ettersom Δ er positiv, null og negativ. Røttene til ligningen kan lett bli funnet ved hjelp av formelen x = (- b ± √Δ) / 2a.

I de to variabeltilfellet vil den generelle formen være økse² + av² + cxy + dx + ex + f = 0, og dette representerer en konisk (parabola, hyperbola eller ellipse) i kartesisk plan. I høyere dimensjoner representerer denne type ligninger hyperflater som kalles quadrics.