Forskjellen mellom lineær ligning og ikke-lineær ligning

Lineær ligning vs ikke-lineær ligning

I matematikk er algebraiske ligninger ligninger, som dannes ved hjelp av polynomene. Når eksplisitt skrevet, vil ligningene ha form P (x) = 0, hvor x er en vektor med n ukjente variabler og P er et polynom. For eksempel, P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 er en algebraisk ligning i to variabler skrevet eksplisitt. Også, (x + y)³ = 3x²y - 3zy⁴ er en algebraisk ligning, men i implisitt form, og det vil ta formen Q (x, y, z) = x³ + y³ + 3xy² +3zy⁴ = 0, en gang skrevet eksplisitt.

En viktig egenskap ved en algebraisk ligning er graden. Det er definert som den høyeste kraften i betingelsene som forekommer i ligningen. Hvis en term består av to eller flere variabler, vil summen av eksponentene til hver variabel bli tatt til å være uttrykkets kraft. Vær oppmerksom på at ifølge denne definisjonen er P (x, y) = 0 av grad 5, mens Q (x, y, z) = 0 er av grad 5.

Lineære ligninger og ikke-lineære ligninger er en to-partisjon definert på settet med algebraiske ligninger. Graden av ligningen er den faktoren som skiller dem fra hverandre.

Hva er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning i grad 1. For eksempel er 4x + 5 = 0 en lineær ligning av en variabel. x + y + 5z = 0 og 4x = 3w + 5y + 7z er lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning av n-variabler ta formen m₁x₁ + m₂x₂ +... + m_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Her, x_JegDet er de ukjente variablene, m_Jeg's og b er reelle tall hvor hver av m_Jeg er ikke-null.

En slik ligning representerer et hyperplan i det n-dimensjonale euklidiske rommet. Spesielt representerer en to variabel lineær ligning en rett linje i kartesisk plan, og en tre variabel lineær ligning representerer et plan på euklidisk 3-plass.

Hva er en ikke-lineær ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning, som ikke er lineær. Med andre ord er en ikke-lineær ligning en algebraisk ligning i grad 2 eller høyere. x² + 3x + 2 = 0 er en enkelt variabel, ikke-lineær ligning. x² + y³+ 3xy = 4 og 8yzx² + y² + 2z² + x + y + z = 4 er eksempler på ikke-lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variabler.

En annen grad ikke-lineær ligning kalles en kvadratisk ligning. Hvis graden er 3, så kalles den en kubisk ligning. Grad 4 og grad 5 ligninger kalles kvarts- og kvintiske ligninger. Det har blitt bevist at det ikke eksisterer en analytisk metode for å løse en ikke-lineær ligning i grad 5, og dette gjelder også i høyere grad. Løsbare, ikke-lineære ligninger representerer hyperoverflater som ikke er hyperplaner.