Forskjellen mellom Fourier Series og Fourier Transform

Fourier Series vs Fourier Transform

Fourier-serien dekomponerer en periodisk funksjon i en sum av sines og cosines med forskjellige frekvenser og amplituder. Fourier-serien er en gren av Fourier-analyse, og den ble introdusert av Joseph Fourier. Fourier Transform er en matematisk operasjon som bryter et signal inn i dens bestandige frekvenser. Det opprinnelige signalet som forandret seg over tid kalles tidsdomene-representasjon av signalet. Fourier-transformasjonen kalles frekvensdomenet representasjon av et signal siden det avhenger av frekvensen. Både frekvensdomenerrepresentasjonen av et signal og prosessen som brukes til å transformere dette signalet inn i frekvensdomenet, refereres til som Fourier-transformasjonen.

Hva er Fourier-serien?

Som nevnt tidligere, er Fourier-serien en utvidelse av en periodisk funksjon ved hjelp av uendelig sum av sines og cosines. Fourier-serien ble opprinnelig utviklet ved å løse varmeekvasjoner, men senere ble det funnet ut at samme teknikk kan brukes til å løse et stort sett med matematiske problemer, spesielt problemene som involverer lineære differensialligninger med konstante koeffisienter. Nå har Fourier-serien applikasjoner på mange områder, inkludert elektrisk ingeniørvitenskap, vibrasjonsanalyse, akustikk, optikk, signalbehandling, bildebehandling, kvantemekanikk og økonometri. Fourier-serien bruker ortogonalitetsforholdene mellom sine og cosinusfunksjoner. Beregningen og studien av Fourier-serien er kjent som den harmoniske analysen og er svært nyttig når man arbeider med vilkårlig periodiske funksjoner, siden den tillater å bryte funksjonen på enkle termer som kan brukes til å oppnå en løsning på det opprinnelige problemet.

Hva er Fourier transformasjon?

Fourier-transformasjonen definerer et forhold mellom et signal i tidsdomene og dets representasjon i frekvensdomenet. Fourier-transformasjonen dekomponerer en funksjon i oscillerende funksjoner. Siden dette er en transformasjon, kan det opprinnelige signalet hentes fra å kjenne transformasjonen, og dermed blir ingen informasjon opprettet eller tapt i prosessen. Studier av Fourier-serien gir faktisk motivasjon for Fourier-transformasjonen. På grunn av egenskapene til sines og cosines er det mulig å gjenopprette mengden av hver bølge som bidrar til summen ved hjelp av en integrert. Fourier-transformasjonen har noen grunnleggende egenskaper som linearitet, oversettelse, modulering, skalering, konjugasjon, dualitet og konvolusjon. Fourier-transformasjonen brukes til å løse differensialligninger siden Fourier-transformasjonen er nært relatert til Laplace-transformasjon. Fourier-transformasjon brukes også i atommagnetisk resonans (NMR) og i andre typer spektroskopi.

Forskjellen mellom Fourier Series og Fourier Transform

Fourier-serien er en utvidelse av periodisk signal som en lineær kombinasjon av sines og cosines, mens Fourier transform er prosessen eller funksjonen som brukes til å konvertere signaler fra tidsdomene til frekvensdomene. Fourier-serien er definert for periodiske signaler, og Fourier-transformasjonen kan brukes til aperiodiske signaler (uten forekomst). Som nevnt ovenfor gir studien av Fourier-serien faktisk motivasjon for Fourier-transformasjonen.