Forskjellen mellom differensiering og derivat

Differensiering mot derivat
 

I differensialkalkulator er derivat og differensiering nært beslektet, men veldig forskjellig, og pleide å representere to viktige matematiske begreper knyttet til funksjoner.

Hva er derivat?

Derivat av en funksjon måler hastigheten der funksjonsverdien endres når dens inngang endrer seg. I multi-variable funksjoner avhenger endringen i funksjonsverdien av retningen for endringen av verdiene for de uavhengige variablene. Derfor er i slike tilfeller valgt en bestemt retning, og funksjonen er differensiert i den bestemte retning. Det derivatet kalles retningsbestemt derivat. Delvis derivater er en spesiell type retningsderivater.

Derivat av en vektorverdig funksjon f kan defineres som grensen uansett hvor det eksisterer endelige. Som nevnt tidligere gir dette oss økningsraten for funksjonen f langs vektorens retning u. I tilfelle av en verdsatt funksjon, reduseres dette til den velkjente definisjonen av derivatet,  

For eksempel, er overalt differentiable, og derivatet er lik grensen, , som er lik . Derivatene av funksjoner som   eksisterer overalt. De er henholdsvis lik funksjonene .                                                                                

Dette er kjent som det første derivatet. Vanligvis er det første derivatet av funksjon f er betegnet av f ⁽¹⁾. Nå bruker du denne notasjonen, er det mulig å definere høyere rekkefølgenderivater. er den andre ordens retningsmessige derivat, og betegner n^th derivat av f ⁽ⁿ⁾ for hver n, ,  definerer n^th derivat.

Hva er differensiering?

Differensiering er prosessen med å finne derivatet av en differensierbar funksjon. D-operatør betegnet av D representerer differensiering i noen sammenhenger. Hvis x er den uavhengige variabelen da D ≡ ^d/_dx. D-operatøren er en lineær operatør, dvs. for en hvilken som helst to differensierbar funksjon f og g og konstant c, Følgende egenskaper holdes.

Jeg.  D(f + g) = D(f) + D (g)

II.  D(jf) = cD(f )

Ved hjelp av D-operatøren kan de andre reglene knyttet til differensiering uttrykkes som følger. D(f g) = D(f ) g +f D(G) , D(^f/_g) = ^{[D(f ) g - f D(G)]}/_g² og D(f  o g) = (D(f) o g) D (g).

For eksempel, når F (x) = x²synd x er differensiert med hensyn til x ved hjelp av reglene gitt, vil svaret være 2xsynd x -+ x²cosx.