Forskjellen mellom derivat og differensial

Derivat vs differensial
 

I differensialkalkulator er derivat og differensial av en funksjon nært beslektet, men har svært forskjellige betydninger, og pleide å representere to viktige matematiske objekter relatert til differerierbare funksjoner.

Hva er derivat?

Derivat av en funksjon måler hastigheten der funksjonsverdien endres når dens inngang endrer seg. I multi-variable funksjoner avhenger endringen i funksjonsverdien av retningen for endringen av verdiene for de uavhengige variablene. Derfor er i slike tilfeller valgt en bestemt retning, og funksjonen er differensiert i den bestemte retning. Det derivatet kalles retningsbestemt derivat. Delvis derivater er en spesiell type retningsderivater.

Derivat av en vektorverdig funksjon f kan defineres som grensen uansett hvor det eksisterer endelige. Som nevnt tidligere gir dette oss økningsraten for funksjonen f langs vektorens retning u. I tilfelle av en verdsatt funksjon, reduseres dette til den velkjente definisjonen av derivatet,  

For eksempel, er overalt differentiable, og derivatet er lik grensen, , som er lik . Derivatene av funksjoner som   eksisterer overalt. De er henholdsvis lik funksjonene .                                                                                

Dette er kjent som det første derivatet. Vanligvis er det første derivatet av funksjon f er betegnet av f ⁽¹⁾. Nå bruker du denne notasjonen, er det mulig å definere høyere rekkefølgenderivater. er den andre ordens retningsmessige derivat, og betegner n^th derivat av f ⁽ⁿ⁾ for hver n, ,  definerer n^th derivat.

Hva er forskjell?

Differensial av en funksjon representerer endringen i funksjonen med hensyn til endringer i den uavhengige variabelen eller variablene. I den vanlige notasjonen, for en gitt funksjon f av en enkelt variabel x, total differensial av rekkefølge 1 df er gitt av, . Dette betyr at for en uendelig endring i x(dvs. dx), det vil være en  f ⁽¹⁾(x) dx endring i f.

Ved å bruke grenser kan man ende opp med denne definisjonen som følger. Anta Δx er endringen i x på et vilkårlig punkt x og Δf er den tilsvarende endringen i funksjonen f. Det kan vises at Δf = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, hvor ε er feilen. Nå er grensen Δx →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (ved hjelp av den tidligere definerte definisjonen av derivat) og dermed, Δx →0^ε/_Δx= 0. Derfor er det mulig å konkludere at, Δx →0ε = 0. Nå, betegner Δx →0 Δf som df og Δx →0 Δx som dx definisjonen av differensialet blir strenge oppnådd. 

For eksempel, differansen av funksjonen er .

Når det gjelder funksjoner av to eller flere variabler, defineres total differensial av en funksjon som summen av differensier i retningene for hver av de uavhengige variablene. Matematisk kan det angis som .