Forskjellen mellom aritmetisk og geometrisk serie

Aritmetikk vs Geometrisk Serie
 

Den matematiske definisjonen av en serie er nært knyttet til sekvensene. En sekvens er et ordnet sett med tall og kan enten være en endelig eller et uendelig sett. En sekvens av tall med forskjellen mellom to elementer som er en konstant er kjent som en aritmetisk progresjon. En sekvens med en konstant kvotient av to påfølgende tall er kjent som en geometrisk progresjon. Disse progresjonene kan enten være endelige eller uendelige, og hvis det er begrenset, er antall vilkår telleverdige, ellers utelige.

Generelt kan summen av elementene i en progresjon defineres som en serie. Summen av en aritmetisk progresjon er kjent som en aritmetisk serie. På samme måte er summen av en geometrisk progresjon kjent som en geometrisk serie.

Mer om Arithmetic Series

I en aritmetisk serie har de suksessive begrepene en konstant forskjell.

S_n = a₁ + en₂ + en₃ + en₄ +⋯ + a_n = Σⁿ_{i = 1} en_Jeg ; hvor en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, og så videre.

Denne forskjellen d er kjent som den felles forskjellen, og n^th sikt er gitt av a_n = a₁+ (N-1) d; hvor en₁ er den første termen.

Oppførelsen av serien endres ut fra den vanlige forskjellen d. Hvis den vanlige forskjellen er positiv, har progresjonen en positiv uendelighet, og hvis den vanlige forskjellen er negativ, har den en tendens til den negative uendigheten.

Summen av serien kan fås ved hjelp av følgende enkle formel, som først ble utviklet av indisk astronom og matematiker Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ en_n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Summen S_n kan enten være begrenset eller uendelig, basert på antall vilkår.

Mer om Geometrisk Serie

En geometrisk serie er en serie med kvoten av de påfølgende tallene konstant. Det er en viktig serie funnet i studien av serien, på grunn av egenskapene den besitter.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = Σⁿ_{i = 1} ar^Jeg

Basert på forholdet r kan oppførelsen av serien kategoriseres som følger. r = | r | ≥1 serien divergerer; r≤1-serien konvergerer. Også, hvis r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Summen av den geometriske serien kan beregnes ved hjelp av følgende formel. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); hvor a er den første termen og r er forholdet. Hvis forholdet r <1, ​​konvergerer serien. For en uendelig serie er verdien av konvergens gitt av S_n= a / (1-r).

Geometrisk serie har mange anvendelser innen fysikk, ingeniørfag og økonomi

Hva er forskjellen mellom aritmetisk og geometrisk serie?

• En aritmetisk serie er en serie med en konstant forskjell mellom to tilstøtende termer.

• En geometrisk serie er en serie med en konstant kvotient mellom to påfølgende vilkår.

• Alle uendelige aritmetiske serier er alltid divergerende, men avhengig av forholdet, kan den geometriske serien enten være konvergent eller divergerende.

• Den geometriske serien kan ha svingning i verdiene; det vil si tallene skifter tegnene deres alternativt, men den aritmetiske serien kan ikke ha svingninger.