Hvordan finne horisontale asymptoter
Share
Hva er en horisontal asymptote
En asymptote er en linje eller kurve som blir vilkårlig nær en bestemt kurve. I andre ord er det en linje nær en gitt kurve, slik at avstanden mellom kurven og linjen nærmer seg null når kurven når høyere / lavere verdier. Kurvregionen som har en asymptote er asymptotisk. Asymptoter finnes ofte i rotasjonsfunksjoner, eksponensiell funksjon og logaritmiske funksjoner. Asymptote parallelt med x-aksen er kjent som en horisontal akse.
Hvordan finne den horisontale asymptoten
En asymptot eksisterer dersom funksjonen til en kurve tilfredsstiller følgende tilstand. Hvis f (x) er kurven, finnes det en horisontal asymptote hvis ,
Deretter eksisterer horisontale asymptoter med ligning = C. Hvis funksjonen nærmer seg endelig verdi (C) ved uendelig, har funksjonen en asymptote ved den verdien og ligningen for en asymptote er y = C. En kurve kan skjære denne linjen på flere punkter, men blir asymptotisk når den nærmer seg uendelig.
For å finne asymptoten til en gitt funksjon, finn grensene ved uendelig.
Finne horisontale asymptoter - Eksempler
-
Eksponensielle funksjoner i form f (x) = ax og [a> 0]
Eksponentielle funksjoner er de enkleste eksemplene på horisontale asymptoter.
Tar begrensningene av funksjonen ved positive og negative uendigheter gir, limx → -∞ enx = + ∞ og limx → -∞ enx = 0. Den rette grensen er ikke et endelig antall og har en tendens til positiv uendelighet, men den venstre grensen nærmer seg de endelige verdiene 0.
Derfor kan vi si at eksponentiell funksjon f (x) = ax har en horisontal asymptote på 0. Ligning av asymptote-linjen er y = 0, som også er x-aksen. Siden a er et positivt tall, kan vi vurdere dette som et generelt resultat.
Når a = e = 2,718281828, er funksjonen også kjent som eksponensiell funksjon. f (x) = ex har spesifikke egenskaper og derfor viktig i matematikk.
-
Rasjonelle funksjoner
En funksjon av formen f (x) = h (x) / g (x) hvor h (x), g (x) er polynomene og g (x) ≠ 0, er kjent som en rasjonell funksjon. Rasjonal funksjon kan ha både vertikale og horisontale asymptoter.
Jeg. Vurder funksjonen f (x) = 1 / x
Funksjon f (x) = 1 / x har både vertikale og horisontale asymptoter. 
For å finne den horisontale asymptoten, finn grensene ved uendelig.
limx →= + ∞ 1 / x = 0+ og limx →= -∞ 1 / x = 0-
Når x → + ∞, nærmer funksjonen 0 fra den positive siden og når x → = -∞-funksjonen nærmer seg 0 fra den negative retningen.
Siden funksjonen har en endelig verdi 0 når nærmer seg uendelighet, kan vi utlede at asymptoten er y = 0.
ii. Vurder funksjonen f (x) = 4x / (x2+1)
Igjen finn grensene ved uendelig for å bestemme horisontal asymptoten.
Igjen har funksjonen asymptote y = 0, også i dette tilfellet skjærer funksjonen asymptote linjen ved x = 0
iii. Vurder funksjonen f (x) = (5x2+1) / (x-2+1)
Tar grensene ved uendelig gir,
Derfor har funksjonen endelige grenser på 5. Så er asymptoten y = 5
