Forskjellen mellom Riemann Integral og Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasjon er et hovedemne i kalkulator. I broders mening kan integrasjon ses som omvendt prosess av differensiering. Når man modellerer virkelige problemer, er det lett å skrive uttrykk som involverer derivater. I en slik situasjon er integrasjonsoperasjonen nødvendig for å finne funksjonen, som ga det spesielle derivatet.

Fra en annen vinkel er integrasjon en prosess som oppsummerer produktet av en funksjon ƒ (x) og δx, hvor δx har en viss grense. Derfor bruker vi integrationssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det vi oppnår ved å strekke brevet s for å referere til summen.

Riemann Integral

Vurder en funksjon y = ƒ (x). Integrert av y mellom en og b, hvor en og b tilhører et sett x, er skrevet som _b∫^enƒ (x) dx = [F(X)]_en→b = F(b) - F(en). Dette kalles en bestemt integral av den enkeltverdige og kontinuerlige funksjonen y = ƒ (x) mellom a og b. Dette gir området under kurven mellom en og b. Dette kalles også Riemann integral. Riemann integral ble skapt av Bernhard Riemann. Riemann-integralet av en kontinuerlig funksjon er basert på Jordan-målet, derfor er det også definert som grensen for Riemann-summene av funksjonen. For en virkelig verdsatt funksjon definert på et lukket intervall, er Riemann-integralet av funksjonen med hensyn til en partisjon x₁, x₂,..., x_n definert på intervallet [a, b] og t₁, t₂,..., t_n, hvor x_Jeg ≤ t_Jeg ≤ x_{i + 1} for hver i ε 1, 2, ..., n er Riemann summen definert som Σ_{i = o til n-1} ƒ (t_Jeg) (X_{i + 1} - x_Jeg).

Lebesgue Integral

Lebesgue er en annen type integral, som dekker et stort antall tilfeller enn Riemann integral gjør. Lebesgue integral ble introdusert av Henri Lebesgue i 1902. Legesgue integrasjon kan betraktes som en generalisering av Riemann-integrasjonen.

Hvorfor trenger vi å studere en annen integrering?

La oss se på den karakteristiske funksjonen ƒ_{A (x) = 0 hvis, x ikke ε A}^{1 hvis, x ε A} på et sett A. Deretter finite lineær kombinasjon av karakteristiske funksjoner, som er definert som F(x) = Σ a_JegƒE_Jeg(x) kalles den enkle funksjonen hvis E_Jeg er målbar for hver jeg. The Lebesgue integral av F(x) over E er betegnet av _E∫ ƒ (x) dx. Funksjonen F(x) er ikke Riemann integrert. Derfor er Lebesgue integral omformulert Riemann integral, som har noen begrensninger på funksjonene som skal integreres.