Forskjellen mellom Power Series og Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

I matematikk er en ekte sekvens en ordnet liste over reelle tall. Formelt er det en funksjon fra settet av naturlige tall inn i settet av reelle tall. Hvis en_ner da^th Sekvens av en sekvens, vi betegner sekvensen av eller til en₁, en₂,..., a_n,... .For eksempel, se sekvensen 1, ½, ⅓, ... , ¹/_n,.... Den kan betegnes som 1 / n.

Det er mulig å definere en serie ved hjelp av sekvenser. En serie er summen av betingelsene i en sekvens. Derfor er det for hver sekvens en tilhørende sekvens og vice versa. Hvis en_n er sekvensen under vurdering, så kan serien dannet av den sekvensen representeres som:                                           

 I eksemplet ovenfor er således den tilknyttede serien 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Som navnene antyder, er kraftserien en spesiell type serie, og den er mye brukt i numerisk analyse og relatert matematisk modellering. Taylor-serien er en spesiell kraftserie som gir en alternativ og lett å manipulere måte å representere kjente funksjoner på.

Hva er Power-serien?

En kraftserie er en serie av skjemaet

    

som er konvergent (muligens) for noe intervall sentrert på c. Koeffisientene en_n kan være ekte eller komplekse tall, og er uavhengig av x; dvs. Dummy-variabelen.

For eksempel ved å sette inn en_n= 1 for hver n, og c = 0, kraftserien 1 + x + x²+... + xⁿ+… er oppnådd. Det er lett å observere at når x ε (-1,1), konvergerer denne kraftserien til 1 / (1-x).          

En kraftserie konvergerer når x = c. De andre verdiene av x for hvilken kraftserien konvergerer, vil alltid ha form av et åpent intervall sentrert på c. Det er, det vil være en verdi 0 < R ≤ ∞ slik at for hver x tilfredsstillende | x-c | ≤R, Kraftserien er konvergent og for hver x  tilfredsstillende | x-c |>R, kraftserien er divergerende. Denne verdien R kalles radius for konvergens av kraftserien (R kan ta noen reell verdi eller positiv uendelighet).

Power-serien kan legges til, subtraheres, multipliseres og deles ved hjelp av følgende regler. Vurder de to kraftseriene:       

   

                               .

Deretter,                 

dvs. lignende vilkår legges til eller trekkes sammen. Det er også mulig å multiplisere og dele de to kraftseriene ved hjelp av identiteten,

Hva er Taylor-serien?

Taylor-serien er definert for en funksjon f(x) som er uendelig differensierbar på et intervall. Anta f(x) er differensierbar på et intervall sentrert på c. Så kraftserien som er gitt av

                                                                                                                                

kalles Taylor-serien utvidelse av funksjonen f(x) handle om c. (Her f^(N)(c) Betegner n^th derivat på x = c). I Numerisk Analyse brukes et ubegrenset antall termer i denne uendelige ekspansjonen til å beregne verdier på punkter der serien er konvergent til den opprinnelige funksjonen.

En funksjon f(x) sies å være analytisk i intervallet (a, b), hvis for hver x e (a, b), Taylor-serien av f(x) konvergerer til funksjonen f(x). For eksempel er 1 / (1-x) analytisk på (-1,1), siden dens Taylor-utvidelse 1 + x + x²+... + xⁿ+... konvergerer til funksjonen på det intervallet, og e^x  er analytisk overalt, siden Taylor-serien av e^xkonvergerer til e^x for hvert reelt tall x.

Hva er forskjellen mellom Power-serien og Taylor-serien?

1. Taylor-serien er en spesiell klasse av maktserier som bare er definert for funksjoner som uendelig differensieres på noen åpne intervaller.

2. Taylor-serien tar spesialskjemaet

        

mens en kraftserie kan være hvilken som helst serie av skjemaet