Forskjellen mellom ortogonale og orthonormale

Ortogonal vs Orthonormal

I matematikk brukes de to ordene ortogonale og ortonormale ofte sammen med et sett med vektorer. Her brukes begrepet "vektor" i den forstand at det er et element i et vektorrom - en algebraisk struktur som brukes i lineær algebra. For vår diskusjon vil vi vurdere et indre produktrom - et vektorrom V sammen med et indre produkt [] definert på V.

Som et eksempel, for et indre produkt, er rommet settet av alle tredimensjonale posisjonvektorer sammen med det vanlige punktproduktet.

Hva er ortogonalt?

En nonempty delmengde S av et indre produktrom V sies å være ortogonalt, hvis og bare hvis for hver tydelig du, v i S, [u, v] = 0; dvs. det indre produkt av u og v er lik nullskalaren i det indre produktområdet.

For eksempel, i settet med alle 3-dimensjonale posisjonvektorer, er dette ekvivalent med å si at for hvert av de forskjellige parposisjonsvektorene p og q i s, p og q er vinkelrett på hverandre. (Husk at det indre produktet i denne vektorplassen er prikkproduktet. Dotproduktet av to vektorer er lik 0 hvis og bare hvis de to vektorene er vinkelrette på hverandre.)

Vurder settet S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), som er en delmengde av de 3-dimensjonale posisjonvektorer. Vær oppmerksom på at (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 og (0,2,0).(0,0,5) = 0. Derfor settes S er ortogonalt. Spesielt er to vektorer sies å være ortogonale hvis deres indre produkt er 0. Derfor er hvert par vektorer i Ser ortogonalt.

Hva er orthormalt?

En nonempty delmengde S av et indre produktrom V sies å være orthonormal hvis og bare hvis S er ortogonale og for hver vektor u i S, [u, u] = 1. Derfor kan det ses at hvert orthonormalt sett er ortogonalt, men ikke omvendt.

For eksempel, i settet med alle 3-dimensjonale posisjonvektorer, er dette ekvivalent med å si at for hvert av de forskjellige parposisjonsvektorene p og q i S, p og q er vinkelrett på hverandre, og for hver p i S, | P | = 1. Dette er fordi tilstanden [p, p] = 1 reduserer til p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, som tilsvarer | P | = 1. Derfor, gitt et ortogonalt sett, kan vi alltid danne et tilsvarende ortonormalt sett ved å dele hver vektor med dens størrelse.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) er en orthonormal delmengde av settet av alle 3-dimensjonale posisjonvektorer. Det er lett å se at det ble oppnådd ved å dele hver vektorer i settet S, av deres størrelser.

Hva er forskjellen mellom ortogonale og orthonormale?

• En nonempty delmengde S av et indre produktrom V sies å være ortogonalt, hvis og bare hvis for hver forskjellig du, v i S, [u, v] = 0. Det er imidlertid orthormalt, hvis og bare hvis en ekstra betingelse - for hver vektor u i S, [u, u] = 1 er fornøyd.
• Ethvert orthonormalt sett er ortogonalt, men ikke omvendt.
• Ethvert ortogonalt sett tilsvarer et unikt ortonormalt sett, men et orthonormalt sett kan svare til mange ortogonale sett.