Forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensielle ligninger

Lineære vs ikke-lineære differensielle ligninger
 

En ligning som inneholder minst en differensialkoeffisient eller derivat av en ukjent variabel er kjent som en differensialekvasjon. En differensialligning kan være enten lineær eller ikke-lineær. Omfanget av denne artikkelen er å forklare hva som er lineær differensialligning, hva er ikke-lineær differensialligning, og hva er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensiallikninger.

Siden utviklingen av kalkulasjon i det 18. århundre av matematikere som Newton og Leibnitz, har differensialekvasjon spilt en viktig rolle i historien om matematikk. Differensielle ligninger er av stor betydning i matematikk på grunn av deres anvendelsesområde. Differensialekvasjoner ligger i hjertet av hver modell vi utvikler for å forklare noe scenario eller begivenhet i verden om det er fysikk, ingeniørfag, kjemi, statistikk, økonomisk analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, til kalkulasjonen ble en etablert teori, var egnede matematiske verktøy utilgjengelige for å analysere de interessante problemene i naturen.

Resultatende ligninger fra en bestemt anvendelse av kalkulator kan være svært komplekse og noen ganger ikke oppløselige. Men det er det vi kan løse, men kan se like ut og forvirre. Derfor, for enklere identifikasjons differensialligninger er kategorisert etter deres matematiske oppførsel. Linjær og ikke-lineær er en slik kategorisering. Det er viktig å identifisere differansen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger.

Hva er en lineær differensiell likning?

Anta at f: X → Y og f (x) = y, a differensiell likning uten ikke-lineære termer av den ukjente funksjonen y og dets derivater er kjent som en lineær differensialekvasjon.

Det pålegger at du ikke kan ha høyere indeksvilkår som y², y³,... og multipler av derivater som 

Det kan heller ikke inneholde ikke-lineære begreper som Sin y, e^{y^ -2}, eller ln y. Det tar skjemaet, 

hvor y og g er funksjoner av x. Ligningen er en differensialligning av rekkefølge n, som er indeksen for den høyeste rekkefølgenderivat.

I en lineær differensialligning er differensialoperatøren en lineær operatør og løsningene danner et vektorrom. Som et resultat av løsningenes lineære natur er en lineær kombinasjon av løsningene også en løsning på differensialligningen. Det er, hvis y₁ og y₂ er løsninger av differensialligningen, da C₁ y₁+ C₂ y₂ er også en løsning.

Linjæriteten til ligningen er bare en parameter for klassifiseringen, og den kan videre kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og vanlige eller partielle differensialligninger. Hvis funksjonen er g= 0 er ligningen en lineær homogen differensialligning. Hvis f er en funksjon av to eller flere uavhengige variabler (f: X, T → Y) og f (x, t) = y , så er ligningen en lineær partiell differensialekvasjon.

Løsningsmetode for differensialligningen er avhengig av typen og koeffisientene til differensialligningen. Det enkleste tilfellet oppstår når koeffisientene er konstante. Klassisk eksempel på denne saken er Newtons andre lov om bevegelse og dens forskjellige applikasjoner. Newtons andre lov produserer en andre ordinær lineær differensialligning med konstante koeffisienter.

Hva er en ikke-lineær differensiell likning?

Likninger som inneholder ikke-lineære termer er kjent som ikke-lineære differensialligninger.

 

Alt ovenfor er ikke-lineære differensialligninger. Ikke-lineære differensialligninger er vanskelige å løse, derfor er det nødvendig med nær studium for å oppnå en riktig løsning. Ved delvise differensialligninger har de fleste likninger ingen generell løsning. Derfor må hver ligning behandles uavhengig.

Navier-Stokes-ligningen og Eulers likning i væskedynamikk, Einsteins feltekvasjoner av generell relativitet er velkjente, ikke-lineære partielle differensialligninger. Noen ganger kan anvendelsen av Lagrange-ligning til et variabelt system resultere i et system med ikke-lineære partielle differensialligninger.

Hva er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensielle ligninger?

• En differensialligning, som bare har de lineære uttrykkene for den ukjente eller avhengige variabelen og dens derivater, er kjent som en lineær differensialekvasjon. Det har ingen term med den avhengige variabelen i indeksen høyere enn 1 og inneholder ikke flere av dets derivater. Det kan ikke ha ikke-lineære funksjoner som trigonometriske funksjoner, eksponensiell funksjon og logaritmiske funksjoner med hensyn til den avhengige variabelen. En hvilken som helst differensialligning som inneholder ovennevnte termer er en ikke-lineær differensialekvasjon.

• Løsninger av lineære differensialligninger skaper vektorglass og differensialoperatøren er også en lineær operatør i vektorglass.

• Løsninger av lineære differensialligninger er relativt enklere og generelle løsninger eksisterer. For ikke-lineære ligninger eksisterer i de fleste tilfeller ikke den generelle løsningen, og løsningen kan være problemsspesifikk. Dette gjør løsningen mye vanskeligere enn de lineære ligningene.