Forskjellen mellom integrasjon og summering

Integrasjon vs Summation
 

I over videregående matematikk er det ofte funnet integrasjon og summering i matematiske operasjoner. De er tilsynelatende brukt som forskjellige verktøy og i ulike situasjoner, men de deler et veldig nært forhold.

Mer om Summation

Summasjon er operasjonen av å legge til en sekvens av tall og operasjonen er ofte betegnet av det greske bokstaven for kapital sigma Σ. Det brukes til å forkorte summen og er lik summen / summen av sekvensen. De er ofte brukt til å representere serien, som i hovedsak er uendelige sekvenser oppsummert. De kan også brukes til å indikere summen av vektorer, matriser eller polynomier.

Summen er vanligvis gjort for en rekke verdier som kan representeres av et generelt begrep, for eksempel en serie som har en felles betegnelse. Utgangspunktet og sluttpunktet til summeringen er kjent som henholdsvis den nedre og den øvre grensen til summeringen.

For eksempel er summen av sekvensen a₁, en₂, en₃, en₄, ..., a_n er en₁ + en₂ + en₃ +... + a_n som lett kan representeres ved hjelp av summasjonsnotasjonen som Σⁿ_{i = 1} en_Jeg; jeg heter summasjonsindeksen.

Mange variasjoner brukes til summeringen basert på søknaden. I noen tilfeller kan den øvre grensen og nedre grensen bli gitt som et intervall eller et område, for eksempel Σ_1≤i≤100 en_Jeg og Σ_{i∈ [1100]} en_Jeg. Eller det kan gis som et sett med tall som Σ_i∈P en_Jeg , hvor P er et definert sett.

I noen tilfeller kan to eller flere sigma tegn brukes, men de kan generaliseres som følger; Σ_j Σ_k en_jk = Σ_{j, k} en_jk.

Også summeringen følger mange algebraiske regler. Siden den innebygde operasjonen er tillegget, kan mange av de vanlige reglene for algebra brukes på summene selv og for de enkelte uttrykkene som er avbildet av summeringen.

Mer om Integrasjon

Integrasjonen er definert som den omvendte prosessen med differensiering. Men i sin geometriske visning kan den også betraktes som området som er omgitt av funksjonens og aksens kurve. Derfor gir beregning av området verdien av en bestemt integral som vist i diagrammet.

Bildekilde: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Verdien av det bestemte integralet er faktisk summen av de små strimlene inne i kurven og aksen. Området på hver stripe er høyden × bredden ved punktet på aksen som vurderes. Bredde er en verdi vi kan velge, si Δx. Og høyden er omtrent verdien av funksjonen på det vurderte punktet, si f(x_Jeg). Fra diagrammet er det tydelig at jo mindre strimlene er bedre strimlene passer inn i det avgrensede området, derved bedre tilnærming av verdien.

Så, generelt den bestemte integral Jeg, mellom punktene a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor aJeg ≅ f(x₁) ax + f(x₂) Δx + ⋯ + f(x_n) Δx, hvor n er antall strimler (n = (b-a) / xx). Denne summeringen av området kan enkelt representeres ved å bruke summeringsnotasjonen som Jeg ≅ Σⁿ_{i = 1} f(x_Jeg) Ax. Siden tilnærmingen er bedre når Δx er mindre, kan vi beregne verdien når Δx → 0. Derfor er det rimelig å si Jeg = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_Jeg) ax.

Som en generalisering fra det ovennevnte konseptet, kan vi velge Δx basert på det vurderte intervallet indeksert av i (velg bredden på området basert på posisjonen). Så får vi

Jeg= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_Jeg) Δx_Jeg = _en∫^b f(X) dx

Dette er kjent som Reimann Integral av funksjonen f(x) i intervallet [a, b]. I dette tilfellet er a og b kjent som den øvre grensen og den nedre grensen til integralet. Reimann integral er en grunnleggende form for alle integrasjonsmetoder.

I hovedsak er integrasjon summasjonen av området når rektangelets bredde er uendelig.

Hva er forskjellen mellom Integrasjon og Summation?

• Summering er å legge opp en sekvens av tall. Vanligvis er summeringen gitt i dette skjemaet Σⁿ_{i = 1} en_Jeg når betingelsene i sekvensen har et mønster og kan uttrykkes ved hjelp av en generell term.

• Integrasjon er i utgangspunktet området begrenset av funksjonens kurve, aksen og øvre og nedre grenser. Dette området kan gis som summen av mye mindre områder som inngår i det begrensede området.

• Summasjon innebærer de diskrete verdiene med øvre og nedre grenser, mens integrasjonen innebærer kontinuerlige verdier.

• Integrasjon kan tolkes som en spesiell summeringsform.

• I numeriske beregningsmetoder blir integrasjon alltid utført som en summering.