Forskjellen mellom aritmetisk sekvens og geometrisk sekvens

Aritmetisk sekvens vs Geometrisk sekvens
 

Studien av mønstre av tall og deres oppførsel er en viktig studie innen matematikk. Ofte kan disse mønstrene ses i naturen og hjelper oss å forklare deres oppførsel vitenskapelig. Aritmetiske sekvenser og geometriske sekvenser er to av de grunnleggende mønstrene som forekommer i tall, og ofte funnet i naturlige fenomener.

Sekvensen er et sett med bestilte tall. Antallet elementer i sekvensen kan enten være begrenset eller uendelig.

Mer om aritmetisk sekvens (aritmetrisk progresjon)

En aritmetisk sekvens er definert som en sekvens av tall med en konstant forskjell mellom hver påfølgende periode. Det er også kjent som aritmetisk progresjon.

Aritmetisk Sequnece ⇒ a₁, en₂, en_3, en₄,..., a_n ; hvor en₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, og så videre.

Hvis den første termen er en₁ og den vanlige forskjellen er d, da n^th Sekvens av sekvensen er gitt av;

en_n = a₁ + (N-1) d

Ved å ta det ovennevnte resultatet videre, n^th begrepet kan også gis som;

en_n = a_m + (N-m) d, hvor en_m er et tilfeldig uttrykk i sekvensen slik at n> m.

Sett med like tall og sett med odde tall er de enkleste eksemplene på aritmetiske sekvenser, hvor hver sekvens har en felles forskjell (d) på 2.

Antallet vilkår i en sekvens kan være enten uendelig eller endelig. I det uendelige tilfellet (n → ∞) har sekvensen en uendelig avhengig av den vanlige forskjellen (a_n → ± ∞). Hvis felles forskjell er positiv (d> 0), har sekvensen en positiv uendelighet, og hvis felles forskjell er negativ (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Summen av vilkårene i den aritmetiske sekvensen er kjent som den aritmetiske serien: S_n= a₁ + en₂ + en₃ + en₄ + ⋯ + a_n = Σ_{i = 1 n →} en_Jeg; og S_n = (n / 2) (a₁ + en_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] gir verdien av serien (S_n).

Mer om Geometrisk Sequence (Geometrisk Progresjon)

En geometrisk sekvens er definert som en sekvens der kvotienten av noen to påfølgende vilkår er en konstant. Dette er også kjent som geometrisk progresjon.

Geometrisk sekvens ⇒ a₁, en₂, en₃, en₄,..., a_n; hvor en₂/en₁ = r, a₃/en₂ = r, og så videre, hvor r er et reelt tall.

Det er lettere å representere den geometriske sekvensen ved å bruke det vanlige forholdet (r) og den første termen (a). Derfor er den geometriske sekvensen ⇒ a₁, en₁r, a₁r², en₁r³,..., a₁r^n-1.

Den generelle formen for n^th vilkår gitt av a_n = a₁r^n-1. (Tap av abonnementet på det opprinnelige begrepet ⇒ a_n = ar^n-1)

Den geometriske sekvensen kan også være endelig eller uendelig. Hvis antall vilkår er endelige, sies sekvensen å være endelig. Og hvis betingelsene er uendelige, kan sekvensen enten være uendelig eller endelig, avhengig av forholdet r. Fellesforholdet påvirker mange av egenskapene i geometriske sekvenser. 

r> o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerer - eksponentiell forfall, dvs. an → 0, n → ∞
	r = 1	Konstant sekvens, dvs. an = konstant
	r> 1	Sekvensen divergerer - eksponentiell vekst, dvs. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen er oscillerende, men konvergerer
	r = 1	Sekvensen er vekslende og konstant, dvs. an = ± konstant
	r < -1	Sekvensen er vekslende og avviker. dvs. an → ± ∞, n → ∞
r = 0	Sekvensen er en streng av nuller

NB: I alle tilfeller ovenfor, a₁ > 0; hvis en₁ < 0, the signs related to a_n vil bli omvendt.

Tidsintervallet mellom bounces av en ball følger en geometrisk sekvens i den ideelle modellen, og det er en konvergent sekvens.

Summen av betingelsene i den geometriske sekvensen er kjent som en geometrisk serie; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = Σ_{i = 1 n →} ar^Jeg. Summen av den geometriske serien kan beregnes ved hjelp av følgende formel.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); hvor a er den første termen og r er forholdet.

Hvis forholdet, r ≤ 1, konvergerer serien. For en uendelig serie er verdien av konvergens gitt av S_n = a / (1-r) 

Hva er forskjellen mellom aritmetisk og geometrisk sekvens / progresjon?

• I en aritmetisk sekvens har noen to sammenhengende uttrykk en felles forskjell (d), mens i hver geometrisk sekvens alle to påfølgende ord har en konstant kvotient (r).

• I en aritmetisk sekvens er variasjonen av betingelsene lineær, dvs. en rett linje kan trekkes gjennom alle punkter. I en geometrisk serie er variasjonen eksponentiell; enten voksende eller forfall basert på det felles forholdet.

• Alle uendelige aritmetiske sekvenser er divergerende, mens uendelige geometriske serier enten kan være divergerende eller konvergente.

• Den geometriske serien kan vise svingning hvis forholdet r er negativt mens den aritmetiske serien ikke viser svingning