Forskjellen mellom rasjonelle og irrasjonelle tall

Begrepet "tall" bringer oss i betraktning hva som generelt er klassifisert som positive heltallverdier som er større enn null. Andre klasser av tall inkluderer hele tall og fraksjonene, komplekse og ekte tall og også negative heltallverdier.

Utvidelse av klassifiseringen av tall videre, møter vi rasjonell og irrasjonell tall. Et rasjonelt tall er et tall som kan skrives som en brøkdel. Med andre ord kan det rasjonelle tallet skrives som et forhold på to tall.

Tenk for eksempel nummeret 6. Det kan skrives som forholdet mellom to tall, f.eks. 6 og 1, som fører til forholdet 6/1. like måte, 2/3, som er skrevet som en brøkdel, er et rasjonelt tall.

Vi kan således definere et rasjonelt tall, som et tall som er skrevet i form av en brøkdel, hvor både telleren (tallet på toppen) og nevnen (tallet på bunnen) er hele tall. Per definisjon er derfor hele hele tallet også et rasjonelt tall.

Et forhold på to store tall som (129367871)/(547724863) vil også utgjøre et eksempel på et rasjonelt tall for den enkle grunnen at både telleren og nevnen er hele tall.

Omvendt kan et tall som ikke kan uttrykkes i form av en brøkdel eller et forhold betegnes som irrasjonell. Det mest omtalte eksemplet på et irrasjonelt tall er √2 (1.414213...). Et annet populært eksempel på et irrasjonelt tall er den numeriske konstanten π (3.141592 ... ).

Et irrasjonelt tall kan skrives som et desimal, men ikke som en brøkdel. Irrasjonelle tall brukes ikke ofte i det daglige livet, selv om de eksisterer på nummerlinjen. Det er et uendelig antall irrasjonelle tall mellom 0 og 1 på nummerlinjen. Et irrasjonelt tall har endeløse ikke-gjentatte siffer til høyre for desimaltegnet.

Merk at den ofte citerte verdien av 22/7 for konstanten π er faktisk bare en verdiene til π. Per definisjon er omkretsen av en sirkel dividert med to ganger dens radius verdien av π. Dette fører til flere verdier av π, Inkluderer, men ikke begrenset til, 333/106, 355/113 og så videre1.

Bare de firkantede røttene til firkantetallene; det vil si kvadratrøttene til perfekte firkanter er rasjonelle.

√1= 1 (Rasjonell)

√2 (Irrasjonell)

√3 (Irrasjonell)

√4 = 2 (Rasjonell)

√5, √6, √7, √8 (Irrasjonell)

√9 = 3 (Rasjonell) og så videre.

Videre bemerker vi at bare den nth røtter av nde krefter er rasjonelle. Dermed er sjette roten av 64 er rasjonell, fordi 64 er en sjette makt, nemlig sjette kraft av 2. Men sjette roten av 63 er irrasjonell. 63 er ikke en perfekt 6th makt.

Uunngåelig kommer desimalrepresentasjonen av irrasjonelle til å komme inn i bildet og gir noen interessante resultater.

Når vi uttrykker en rasjonell tallet som desimal, da vil desimalet være nøyaktig (som i 1/5= 0.20) eller det blir det unøyaktig (som i, 1/3 ≈ 0,3333). I begge tilfeller vil det være et forutsigbart mønster av sifre. Merk at når en irrasjonell tallet er uttrykt som et desimal, så klart vil det være uakseptabelt, fordi ellers ville tallet være rasjonelt.

Dessuten vil det ikke være et forutsigbart mønster av sifre. For eksempel,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Nå, med rasjonelle tall, møter vi av og til 1/11 = 0,0909090.

Bruken av både likestilt (=) og tre prikker (ellipse) innebærer at selv om det ikke er mulig å uttrykke 1/11 akkurat som et desimal, kan vi likevel omtrentlig tilpasse det med så mange desimaltall som tillatt å komme nær 1/11.

Dermed desimalformen av 1/11 anses uaktsomt. På samme måte, desimalformen til  ¼ som er 0,25, er nøyaktig.

Kommer til desimalform for irrasjonelle tall, de kommer til å være alltid inaktive. Fortsetter med eksemplet på √2, når vi skriver √2 = 1.41421356237... (merk bruk av ellipsis), betyr det umiddelbart at ingen desimal for √2 vil være nøyaktig. Videre vil det ikke være et forutsigbart mønster av sifre. Ved hjelp av begreper fra numeriske metoder, igjen, kan vi rationelt omtrentliggjøre for så mange desimaltall som til et slikt punkt at vi er nær √2.

Eventuelle notater om rasjonelle og irrasjonelle tall kan ikke ende uten det obligatoriske beviset på hvorfor √2 er irrasjonell. Ved å gjøre det belyser vi også det klassiske eksempelet på a bevis ved fortsradiction.

Anta at √2 er rasjonell. Dette fører oss til å representere det som et forhold på to heltall, si p og q.

√2 = p / q

unødvendig å si, p og q har ingen vanlige faktorer, for hvis det skulle være noen vanlige faktorer, ville vi ha kansellert dem fra telleren og nevner.

Squaring begge sider av ligningen, vi ender med,

2 = s2 / q2

Dette kan enkelt skrives som,

p2 = 2q2

Den siste ligningen antyder at p2 er jevn. Dette er bare mulig hvis p selv er det selv. Dette innebærer igjen at p2 er delbart av 4. derav, q2 og konsekvent q må være jevn. Så p og q er begge like som er en motsetning til vår opprinnelige antagelse at de ikke har noen felles faktorer. Og dermed, √2 kan ikke være rasjonell. Q.E.D.